第20章、ABC猜想(第1/2頁)

在學習空隙，他也抽空不斷完善《馬氏數學解析1.0》的編譯，他準備在畢業前，用這前所未有軟體，再解決一道數學難題，論證《ABC猜想》。

若是論證一個猜想可能被大家認為是天才，若再論證一個數學難題，甚至由此證明他的新數學體系，那麼他才可能被全球學術界認同為數學領域的大師地位。

《ABC猜想》是數論領域的重要猜想，由喬瑟夫·奧斯達利及大衛·馬瑟在1985年提出，因此又稱為“奧斯達利–馬瑟”猜想。

數學家戈德菲爾德曾說過：“ABC猜想是丟番圖方程尚未解決的問題中最為重要的一個！”

一般情況下，數論領域的猜想表述起來都比較精確直觀。

比如已經被安德魯·懷爾斯證明了的費馬大定理，可以直接表示為：當整數n >2時，關於x， y， z的方程 x^n + y^n = z^n 沒有正整數解。

又如馬由已證明的《哥猜》，一句話就能看懂：任一大於2的偶數都可寫成兩個質數之和。

但《ABC猜想》卻是個例外。

它理解起來非常抽象。

簡單地說，就是有3個數：a、b和c =a+b，如果這3個數互質，沒有大於1的公共因子，那麼將這3個數不重複的質因子相乘得到的d，看似通常會比c大。

舉個例子：a=2，b=7，c=a+b=9=3*3。

這3個數是互質的，那麼不重複的因子相乘就有d=2*7*3=42>c=9。

大家還可以實驗幾組數，比如：3+7=10，4+11=15，也都滿足這個看起來正確的規律。

但是，這只是看起來正確的規律，實際上存在反例！

由荷蘭萊頓大學數學研究所運營的ABC@home網站就在用基於BOINC的分散式計算平臺分散式計算尋找ABC猜想的反例，其中一個反例是3+125=128：其中125=5^3 ，128=2^7，那麼不重複的質因子相乘就是3*5*2=30，128比30要大。

事實上，計算機能找到無窮多的這樣反例。

於是我們可以這樣表述ABC猜想，d“通常”不比c“小太多”。

怎麼叫通常不比c小太多呢？

如果我們把d稍微放大一點點，放大成d的（1+ε次方），那麼雖然還是不能保證大過c，但卻足以讓反例從無限個變成有限個。

這就是ABC猜想的表述了。 ABC猜想不但涉及加法（兩個數之和），又包含乘法（質因子相乘），接著還模糊地帶有點乘方（1+ε次方），最坑爹的是還有反例存在。

因此，這個猜想的難度可想而知。

事實上，除了尚未解決的涉及多個數學分支的猜想界皇冠黎曼猜想以外，其他數論中的猜想，諸如哥德巴赫猜想、孿生素數猜想，以及已經解決的費馬大定理，基本上都沒有ABC猜想重要。

這是為何呢？

首先，ABC猜想對於數論研究者來說，是反直覺的。

歷史上反直覺的卻又被驗證為正確的理論，數不勝數。

一旦反直覺的理論被證實是正確的，基本上都改變了科學發展的程序。

舉一個簡單的例子：牛頓力學的慣性定律，物體若不受外力就會保持目前的運動狀態，這在17世紀無疑是一個重量級的思想炸彈。

物體不受力狀態下當然會從運動變為停止，這是當時的普通人基於每天的經驗得出的正常思想。

而實際上，這種想法，在任何一個於20世紀學習過初中物理、知道有種力叫摩擦力的人來看，都會顯得過於幼稚。

但對於當時的人們來說，慣性定理的確是相當違反人類常識的！

ABC猜想之於現在的數論研究者，就好比牛頓慣性定律之於十七世紀的普通人，更是違反數學上的常識。

這一常識就是：“a和b的質因子與它們之和的質因子，應該沒有任何聯絡。”

原因之一就是，允許加法和乘法在代數上互動，會產生無限可能和不可解問題，比如關於丟番圖方程統一方法論的希爾伯特第十問題，早就被證明是不可能的。

如果ABC猜想被證明是正確的，那麼加法、乘法和質數之間，一定存在人類已知數學理論從未觸及過的神秘關聯。

再者，ABC猜想和其他很多數論中的未解問題有著重大聯絡。

比如剛才提到的丟番圖方程問題、費馬最後定理的推廣猜想、Mordell猜想、Erdős–Woods猜想等等。

而且，ABC猜想還能間接推匯出很多已被證明的重要結果，比如費馬最後定理。